I. ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЙ К УСВОЕНИЮ УЧЕБНЫЙ МАТЕРИАЛ

 

Числа и вычисления

 

Натуральные числа и действия над ними. Квадрат и куб числа. Делители и кратные числа. Разложение числа на множители. Признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10. Простые и составные числа. Разложение числа на простые множители. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное. Деление с остатком.

Обыкновенная дробь. Правильная и неправильная дроби. Основное свойство дроби. Сокращение дроби. Приведение дроби к новому знаме­нателю. Сравнение дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление обыкновенных дробей. Основные задачи на дроби.

Среднее арифметическое нескольких чисел.

Десятичная дробь. Сравнение десятичных дробей. Округление десятич­ных дробей. Обращение конечной десятичной дроби в обыкновенную и обыкновенной в десятичную. Сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей.

Пропорция. Основное свойство пропорции. Решение задач на состав­ление пропорций. Задачи на пропорциональное деление. Масштаб.

Проценты. Основные задачи на проценты.

Положительные и отрицательные числа. Модуль числа и его геомет­рический смысл. Противоположные числа. Сложение, вычитание, умноже­ние и деление положительных и отрицательных чисел. Целые числа. Ра­циональные числа. Сравнение чисел.

Стандартный вид числа. Действия над числами, записанными в стан­дартном виде.

Текстовая задача и ее компоненты. Проверка решения задачи. Ариф­метические способы решения задач.

Корень n-й степени из числа. Арифметический квадратный корень и его свойства.

Иррациональное число. Действительное число. Действительное число как бесконечная десятичная дробь. Периодические и непериодические бесконечные десятичные дроби.

Синус, косинус, тангенс, котангенс угла от 0° до 180°. Значения синуса и косинуса для углов, равных 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, а также значения тангенса и котангенса для углов, равных 30°, 45°, 60°.

 

Выражения и их преобразования

 

Числовое выражение и его значение. Порядок выполнения ариф­метических действий. Сравнение числовых выражений. Выражение с пере­менными. Значение выражения с переменными при данных значениях пере­менных. Область определения выражения.

Свойства арифметических действий и их применение для рационали­зации вычислений.

*Степень с натуральным показателем и ее свойства¹.

Одночлен. Многочлен. Сложение, вычитание и умножение многочле­нов, деление многочлена на одночлен.

*Формула. Тождество. Тождественно равные выражения. Тождествен­ное преобразование выражения. Формулы сокращенного умножения:

а² – b² = (а – b)(a + b),

(a + b) ² = a² + 2ab + b²,

(a – b) ² = a² – 2ab + b².

Тождественные преобразования многочленов. Приведение подобных слагаемых. Разложение многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки; группировка; применение формул сокращенного умножения.

Рациональные дроби. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Приведение дробей к новому знаменателю. Сложение, вычитание, умно­жение и деление рациональных дробей.

__________

 

¹ Здесь и далее отмечен материал, который включается в теоретическую часть билетов для проведения вступительных испытаний по математике в устной форме (при этом от абитуриента требуется сформулировать опре­деления понятий, вывести формулы, сформулировать и доказать свойства, теоремы, признаки, которые входят в вопросы билета).

 

*Степень с целым показателем и ее свойства.

*Квадратный трехчлен. Разложение квадратного трехчлена на ли­нейные множители.

*Арифметический квадратный корень из произведения, частного. Тождество .

Основное тригонометрическое тождество. Соотношения между синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом одного угла. Формулы приведения для углов (90° ± α), (180° – α).

 

Уравнения и неравенства

 

*Уравнение. Корень уравнения. Линейные уравнения.

*Квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения.

*Формулы корней квадратного уравнения.

Приведенное квадратное уравнение.

Уравнения, сводящиеся к квадратному уравнению.

Рациональные уравнения.

*Теорема Виета.

Уравнения с двумя переменными. Системы уравнений с двумя переменными, решение систем. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Решение систем двух уравнений с двумя переменными, из которых одно — линейное, а другое — квадратное.

Числовые неравенства, их геометрическая интерпретация. Свойства числовых неравенств. Строгие и нестрогие неравенства, двойные нера­венства.

Неравенства с одной переменной. Решение неравенств.

*Линейные неравенства с одной переменной.

Простейшие уравнения и неравенства с одной переменной под знаком модуля.

*Квадратные неравенства. Решение квадратных неравенств с исполь­зованием свойств квадратной (квадратичной) функции.

Рациональные неравенства.

Системы неравенств с одной переменной, решение систем неравенств. Решение систем линейных неравенств с одной переменной.

Решение текстовых задач с использованием уравнений, неравенств и их систем.

 

Координаты и функции

 

Линейная диаграмма; столбчатая диаграмма.

Координатный луч. Координата точки.

Координатная прямая и координатная плоскость. Нахождение коор­динат точки на координатной прямой или на координатной плоскости. Построение точки по ее координатам. Расстояние между точками в коор­динатах.

График уравнения с двумя переменными. Уравнение прямой. Уравне­ние окружности. Функция. Область определения и множество (область) зна­чений функции. Способы задания функции. График функции.

Возрастание и убывание функции. Нули функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Промежутки знакопостоянства функции.

*Свойства функции у = kх и ее график.

*Свойства функции у = ах + b и ее график.

*Свойства функции у =  (k ≠ 0) и ее график.

*Свойства функции у = х² и ее график.

*Свойства функции у = х³ и ее график.

*Свойства функции у =  и ее график.

*Свойства функции у = ах² + bх + с (а ≠  0) и ее график.

Числовая последовательность.

*Арифметическая прогрессия. Формулы n-го члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии.

*Геометрическая прогрессия. Формулы n-го члена и суммы n первых членов геометрической прогрессии.

 

Геометрические фигуры и их свойства

 

Плоские и пространственные фигуры.

Точка, прямая, плоскость. Отрезок, ломаная, луч. Полуплоскость.

Куб, прямоугольный параллелепипед и их изображение.

Осесимметричные и центрально-симметричные фигуры.

Равные фигуры.

Взаимное  расположение точек на прямой, точек и прямых на плоскости.

Сравнение и измерение отрезков и углов.

Угол. Развернутый угол. Прямой, острый и тупой углы. Биссектриса угла. Смежные и вертикальные углы, их свойства.

Пересекающиеся прямые. Углы при пересечении двух прямых третьей. Перпендикулярные прямые. Перпендикуляр и наклонная к прямой.

Треугольник, виды треугольников. Остроугольный, тупоугольный, равносторонний, равнобедренный, разносторонний треугольники. Прямо­угольный треугольник, гипотенуза, катет. Медиана, биссектриса, высота треугольника.

*Признаки равенства треугольников.

*Равнобедренный треугольник. Свойства и признаки равнобедренного треугольника.

*Свойства серединного перпендикуляра.

*Свойства биссектрисы угла.

*Параллельные прямые. Признаки параллельности прямых. Свойства параллельных прямых.

*Сумма углов треугольника.

Внешний угол треугольника. Неравенство треугольника.

*Средняя линия треугольника и ее свойства.

*Теорема Фалеса.

Многоугольник, сумма углов многоугольника. Четырехугольник.

*Трапеция. Средняя линия трапеции и ее свойства.

*Параллелограмм. Признаки и свойства параллелограмма.

*Прямоугольник, ромб, квадрат, их свойства.

*Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников. Коэффи­циент подобия.

*Свойство высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного тре­угольника.

*Теорема Пифагора.

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треуголь­ника. Теорема синусов. Теорема косинусов. Решение треугольников.

Окружность и круг: центр, радиус, диаметр. Хорды, дуги окружности и их свойства.

*Центральный и вписанный углы.

Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности.

*Окружность, вписанная в треугольник.

*Окружность, описанная около треугольника.

Правильный многоугольник.

Вписанные и описанные четырехугольники.

 

 

 

Геометрические величины

 

Длина отрезка. Расстояние между двумя точками. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Длина ломаной. Периметр многоугольника.

Градусная и радианная меры угла. Градусная мера дуги. Измерение углов и дуг.

Площадь фигуры. Площадь прямоугольника, квадрата, многоугольника.

*Формулы для вычисления площади треугольника, трапеции, парал­лелограмма, ромба.

Длина окружности и ее дуги. Число p.

Площадь круга, сектора.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, куба.

Объем прямоугольного параллелепипеда и куба.

Единицы измерения длины, площади, объема. Переход от одних еди­ниц измерения данной величины к другим единицам измерения. Действия над величинами.

 

Геометрические построения

 

Построения прямого угла с помощью угольника.

Построения угла с данной градусной мерой с помощью транспортира.

Круговые диаграммы.

Построение с помощью циркуля и линейки серединного перпенди­куляра к отрезку; угла, равного данному; биссектрисы угла.

 

 

II. ТРЕБОВАНИЯ К ПОДГОТОВКЕ АБИТУРИЕНТОВ

 

Числа и вычисления

 

Знать и правильно использовать термины, связанные с числами: натуральное число; целое число; дробное число; рациональное число; иррациональное число; действительное число; положительное число; отри­цательное число; стандартный вид числа; модуль числа; числовой промежу­ток; конечная десятичная дробь; бесконечная периодическая десятичная дробь; бесконечная непериодическая десятичная дробь; десятичное прибли­жение действительного числа; процент; пропорция; прямая и обратная пропорциональность; корень n-й степени из числа; арифметический квадрат­ный корень из числа; среднее арифметическое нескольких чисел; среднее геометрическое двух чисел; число а равно числу b; число а больше числа b; число а меньше числа b; число а больше или равно числу b; число а меньше или равно числу b; синус угла; косинус угла; тангенс угла; котангенс угла, а также некоторые термины теории делимости натуральных чисел: четное число; нечетное число; простое число; составное число; делитель; кратное; разложение числа на множители.

Уметь проводить вычисления, обеспечивающие практические потреб­ности: складывать, вычитать, умножать, делить рациональные числа; находить значения степени числа с натуральным и целым показателем; выполнять действия второй и третьей ступеней над числами, записанными в стандартном виде.

Уметь переходить от одной формы записи чисел к другой и при этом заменять обыкновенную дробь равной ей обыкновенной дробью с другим числителем и знаменателем; заменять целое число и десятичную дробь равной им обыкновенной дробью; заменять обыкновенную дробь по возмож­ности конечной десятичной дробью; понимать невозможность представ­ления обыкновенной дроби в виде конечной десятичной дроби; заменять десятичную дробь процентом; заменять процент десятичной дробью.

Уметь сравнивать и округлять числа; находить приближение по не­достатку и по избытку с заданной точностью.

Уметь пользоваться на практике величинами: длина, площадь, мера угла; знать основные единицы измерения этих величин; уметь переходить от одной единицы измерения данной величины к другой.

Уметь решать текстовые задачи арифметическими способами.

Знать значения sin α, cos α при α, равном 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, а также значения tg α, ctg α при α, равном 30°, 45°, 60°.

Знать основные числовые множества и их обозначения; знать, как обозначаются числовые промежутки, и уметь пользоваться этими обозначе­ниями при решении задач.

 

Выражения и их преобразования

 

Знать и правильно использовать термины: выражение; числовое выражение; значение числового выражения; переменная; выражение с пере­менными; степень; основание степени; показатель степени; степень с нату­ральным показателем; степень с целым показателем; одночлен; многочлен; целое выражение; рациональное выражение; иррациональное выражение; тождество; тождественное преобразование выражения; область определения выражения.

Уметь определять порядок выполнения действий в числовом выра­жении и находить его значение.

Уметь находить значение выражения с переменными при данных зна­чениях переменных.

Уметь составлять несложные выражения по их описаниям.

Уметь находить область определения выражения с переменными.

Знать и уметь применять формулы сокращенного умножения.

Уметь выполнять тождественные преобразования рациональных выра­жений посредством приведения подобных слагаемых, раскрытия скобок, вынесения общего множителя за скобки, формул сокращенного умножения.

Уметь выполнять тождественные преобразования несложных тригоно­метрических выражений при решении треугольников.

Уметь выполнять на основе свойств квадратных корней тождественные преобразования несложных иррациональных выражений, включая вынесе­ние множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня.

 

Уравнения и неравенства

 

Знать и правильно использовать термины: формула; равенство; неравенство; уравнение; корень уравнения; числовое неравенство; нера­венство с переменной; решение неравенства; система уравнений; система неравенств; решение системы; равносильные уравнения; равносильные нера­венства; равносильные системы.

Знать, что значит решить уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств.

Знать основные приемы равносильных преобразований уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств.

Уметь решать линейные и квадратные уравнения и неравенства.

Знать и уметь применять теорему Виета.

Уметь решать рациональные уравнения, рациональные неравенства.

Уметь решать системы линейных неравенств с одной переменной.

Уметь решать системы линейных уравнений с двумя переменными; системы уравнений с двумя переменными, из которых одно уравнение ли­нейное, а другое — квадратное.

Уметь использовать уравнения, неравенства и их системы для решения текстовых задач.

 

 

 

Координаты и функции

 

Знать и правильно использовать термины: координатная прямая; координатная плоскость; координаты точки; абсцисса точки; ордината точки; функция; аргумент функции; значение функции; график функции; область определения функции; область значений функции; нули функции; возрастание функции, убывание функции; промежутки возрастания функ­ции, промежутки убывания функции; линейная функция; угловой коэффи­циент прямой; прямая пропорциональность, обратная пропорциональность; квадратная (квадратичная) функция; парабола; вершина параболы; гипер­бола; арифметическая прогрессия; разность арифметической прогрессии; геометрическая прогрессия; знаменатель геометрической прогрессии.

Уметь изображать число на координатной прямой и определять координату точки на координатной прямой; изображать точку на коорди­натной плоскости и определять ее координаты на этой плоскости.

Уметь изображать числовую информацию в виде схем, диаграмм, гра­фиков, считывать информацию с графика.

Уметь определять по графику функции промежутки ее возрастания и убывания, нули функции, наибольшее и наименьшее значения функции, про­межутки знакопостоянства функции.

Уметь строить графики функций y = kх, y = ax + b, y =  (k ¹ 0), y =, y = x², y = x³ y = ax² + bx + c (a ¹ 0).

Уметь находить n-й член и сумму n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.

 

Геометрические фигуры и их свойства

 

Знать и правильно использовать термины:

·        точка, прямая, луч, отрезок;

·       параллельные прямые; пересекающиеся прямые; соответственные углы, внутренние накрест лежащие углы, внутренние односторонние углы при пересечении двух прямых третьей; перпендикулярные прямые; перпен­дикуляр к прямой; серединный перпендикуляр к отрезку; наклонная к пря­мой; проекция точки на прямую; проекция отрезка на прямую;

·        угол; сторона угла; вершина угла; прямой угол; острый угол; тупой угол; развернутый угол; полный угол; биссектриса угла; смежные углы; вертикальные углы;

·        ломаная; вершины ломаной; звенья ломаной; многоугольник; углы многоугольника; стороны многоугольника; вершины многоугольника; диагонали многоугольника; выпуклые и невыпуклые многоугольники; внеш­ний угол многоугольника; правильные многоугольники;

·        треугольник; равнобедренный треугольник; основание равнобед­ренного треугольника; боковая сторона равнобедренного треугольника; равносторонний треугольник; прямоугольный треугольник; гипотенуза; катет; разносторонний треугольник; остроугольный треугольник; тупоуголь­ный треугольник; высота треугольника; биссектриса треугольника; медиана треугольника; средняя линия треугольника;

·        окружность; круг; центр окружности (круга); радиус окружности (круга); диаметр окружности (круга); дуга окружности; сектор; касательная к окружности; секущая окружности; центральный угол; вписанный угол; окружность, описанная около многоугольника; окружность, вписанная в многоугольник;

·        четырехугольник; трапеция; основание трапеции; боковая сторо­на трапеции; высота трапеции; средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция; прямоугольная трапеция; параллелограмм; прямоугольник; ромб; квадрат;

·        равные фигуры; подобные фигуры; коэффициент подобия;

·        осесимметричные и центрально-симметричные фигуры;

·        параллелепипед; прямоугольный параллелепипед; куб.

Знать основные геометрические факты:

·       свойства смежных углов; свойства вертикальных углов; свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой;

·       свойство серединного перпендикуляра к отрезку; свойство биссектрисы угла;

·       свойство углов треугольника; свойство внешнего угла треугольника; свойство сторон треугольника; теорему косинусов; теорему синусов; свойство биссектрисы треугольника; свойство точки пересечения биссектрис треугольника; свойство точки пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; свойства средней линии треугольника;

·       свойство углов при основании равнобедренного треугольника; свойства медианы, биссектрисы, высоты, проведенных к основанию равно­бедренного треугольника;

·        теорему Пифагора;

·       свойство углов трапеции, прилежащих к боковой стороне; свойства средней линии трапеции;

·       свойства углов параллелограмма; свойство сторон параллело­грамма; свойство диагоналей параллелограмма;

·        свойство диагоналей прямоугольника;

·        свойство диагоналей ромба;

·       свойство угла, вписанного в окружность; свойство касательной к окружности;

·       признаки параллельности прямых; признаки равенства треуголь­ников; признаки подобия треугольников;

·        признаки равнобедренного треугольника; признаки параллело­грамма; признаки прямоугольника; признаки ромба; признаки квадрата;

·        свойство точки пересечения медиан треугольника; свойство ме­дианы, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника; свойство высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника;

·        свойства вписанных и описанных четырехугольников.

Уметь применять при решении задач определения, свойства и признаки геометрических фигур.

 

Геометрические величины

 

Знать и правильно использовать термины: длина отрезка; длина лома­ной; периметр многоугольника; длина окружности; расстояние между точ­ками; расстояние от точки до прямой; расстояние между параллельными прямыми; площадь фигуры; площадь многоугольника; площадь круга; объем тела; градусная мера угла; радианная мера угла; угол между прямыми.

Уметь находить длину ломаной; периметр многоугольника; длину окружности; длину дуги окружности; площадь квадрата, прямоугольника, треугольника, трапеции, параллелограмма, ромба, круга, сектора; объем и полную поверхность прямоугольного параллелепипеда и куба.

Знать формулы:

·        длины окружности;

·       площади треугольника по стороне и проведенной к ней высоте, по двум сторонам и углу между ними, по периметру и радиусу вписанной окружности, по сторонам и радиусу описанной окружности;

·        площади четырехугольника по диагоналям и углу между ними;

·        площади трапеции по ее основаниям и высоте;

·        площади параллелограмма по стороне и проведенной к ней вы­соте, по двум сторонам и углу между ними;

·        площади прямоугольника по сторонам;

·        площади правильного многоугольника;

·        площади круга и сектора;

·        объема прямоугольного параллелепипеда.

Уметь использовать геометрические величины при решении задач.

 

Геометрические построения

 

Уметь пользоваться линейкой с делениями, транспортиром, уголь­ником, циркулем для выполнения измерений и реальных построений.

Знать, какие элементарные построения можно выполнить с помощью линейки, какие — с помощью циркуля.

Уметь строить отрезок данной длины; отрезок, равный данному отрез­ку; угол данной величины; угол, равный данному углу; окружность с данным радиусом.

Уметь с помощью циркуля и линейки:

·        строить серединный перпендикуляр к отрезку;

·        строить биссектрису угла;

·        разделить данный отрезок на равные части.